Отрицательная обратная связь, часть 6: новый и улучшенный анализ устойчивости

Данная статья продемонстрирует удобный альтернативный подход к оценке устойчивости с помощью коэффициента усиления усилителя без обратной связи и коэффициента передачи цепи обратной связи.

Вспомогательная информация

• Введение в операционные усилители
• Операционные усилители: отрицательная обратная связь
• Фаза сигнала переменного тока
• Введение в биполярные транзисторы

Чтобы вам не приходилось переключаться между страницами каждый раз, когда вы хотите обдумать общую структуру обратной связи, вот схема, представленная в первой статье:

А вот схема моделирования LTSpice, обсуждаемая в предыдущей статье:

Мы будем использовать эту же схему для моделирования в этой статье.

Отделение А от β

Теперь мы знаем, что, строя графики величины и сдвига фазы петлевого усиления усилителя с отрицательной обратной связью (обозначенного как Aβ, где A всегда является функцией от частоты, а β при необходимости можно так же считать функцией от частоты), мы можем определить две вещи: 1) является ли усилитель устойчивым, и 2) является ли усилитель достаточно устойчивым (а не в состоянии граничной устойчивости). Первое определение основано на критерии устойчивости, который гласит, что величина петлевого усиления должна быть меньше единицы на частоте, на которой сдвиг фазы петлевого усиления составляет 180°. Второе основано на размере запаса по усилению или запаса по фазе; эмпирическое правило заключается в том, что запас по фазе должен составлять не менее 45°.

Оказывается, что мы можем эффективно анализировать устойчивость, используя альтернативный и несколько упрощенный подход, в котором коэффициент усиления без обратной связи, A, и коэффициент передачи цепи обратной связи, β, изображаются в виде отдельных графиков на одной диаграмме. Рассмотрим следующий график для дискретной схемы усилителя на биполярных транзисторах с частотнонезависимой (то есть, только на резисторах) схемой обратной связи, сконфигурированной для β = 0,5:

Здесь вы видите V(вых), что соответствует усилению усилителя без обратной связи, и 1/(V(обр.связь)/V(вых)). Если вы помните, что β – это доля (выраженная в виде десятичной дроби) выходного сигнала, возвращаемая и вычитаемая из входного сигнала, вы наверняка поймете, что второй график это просто 1/β. Зачем мы построили 1/β? Мы знаем, что петлевое усиление – это A, умноженный на β, но на этом графике ось у выражена в децибелах и, таким образом, является логарифмической. В школе нас учили, что умножение обычных чисел соответствует сложению логарифмических значений, а деление чисел соответствует логарифмическому вычитанию. Таким образом, логарифмический график A, умноженный на β, можно представить, как логарифмический график A плюс логарифмический график β. Однако, помните, что приведенный выше график включает не β, а 1/β, что эквивалентно отрицательному значению β на логарифмической шкале. Давайте, используем несколько цифр, чтобы прояснить это:

\[\beta=0.5\ \Rightarrow\ 20\lg\left(\beta\right)\approx-6\ дБ\]

\[\frac{1}{\beta}=2\ \Rightarrow\ 20\lg\left(\frac{1}{\beta}\right)\approx6\ дБ\]

Таким образом, на этом логарифмическом графике мы имеем 20lg(A) и -20lg(β), что означает, что для восстановления 20lg(Aβ) нам необходимо вычесть кривую 1/β из кривой A:

\[20\lg(A\beta)=20\lg(A)+20\lg(\beta)\\ \Rightarrow\ 20\lg(A\beta)=20\lg(A)-(-20\lg(\beta))\\ \Rightarrow\ 20\lg(A\beta)=20\lg(A)-20\lg\left(\frac{1}{\beta}\right)\]

Снова критерий устойчивости

Первое следствие предшествующего обсуждения состоит в том, что Aβ достигает единичного усиления на частоте, где эти два графика пересекаются:

\[20\lg(A\beta)=20\lg(A)-20\lg\left(\frac{1}{\beta}\right)\\ \Rightarrow\ если\ \ 20\lg(A)=20\log\left(\frac{1}{\beta}\right),\ то\ \ 20\log\left(A\beta\right)=0\]

Таким образом, мы можем переформулировать теоретический критерий устойчивости следующим образом: если фазовый сдвиг меньше 180° на частоте, где пересекаются логарифмические графики амплитуд A и 1/β, усилитель устойчив.

В случае если вы еще не поняли, график 20lg(1/β) также передает характеристики усиления с обратной связью – как мы видели много статей назад, коэффициент усиления с обратной связью очень близок к значению 1/β. Это удобно потому, что на одной этой диаграмме мы можем легко оценить устойчивость относительно коэффициента усиления с обратной связью. Вот увеличенное изображение области пересечения на предыдущем графике:

Сдвиг фазы в точке пересечения составляет 233°, что означает, что этот усилитель дико неустойчив при усилении с обратной связью в 6 дБ. Просто сдвинув кривую 20lg(1/β) вверх или вниз, мы можем легко определить, какую устойчивость мы получим с различными конфигурациями усиления с обратной связью. В предыдущей статье мы выяснили, что этому усилителю необходимо усиление с обратной связью около 78 В/В (или 38 дБ), чтобы быть достаточно устойчивым; если мы изменим резисторный делитель для получения β = 0,013, то получим следующее:

Как вы можете видеть, этот альтернативный метод подтверждает, что усиление с обратной связью 38 дБ обеспечивает запас по фазе 45°.

Упрощаем: наклон вместо запаса

Теперь мы подошли к методике, которая действительно отличает этот альтернативный метод от стандартного метода петлевого усиления, представленного в предыдущей статье. Сначала нам нужно подумать о сдвиге фаз и о том, как он связан с амплитудой отклика:

1. Каждый полюс в передаточной функции цепи обеспечивает сдвиг фазы на 90°.
2. Сдвиг фазы становится заметным приблизительно за одну декаду до частоты полюса и приближается к 90° приблизительно через одну декаду после частоты полюса; на самой частота полюса наблюдается сдвиг фазы 45°.
3. Каждый полюс вызывает снижение амплитудно-частотной характеристики со скоростью 20 дБ на декаду. Таким образом, однополюсная АЧХ имеет постоянный спад 20 дБ/декада. Второй полюс привносит дополнительные 20 дБ/декада, поэтому после частоты второго полюса спад составляет 40 дБ/декада.
4. Теоретический сдвиг фазы на частоте второго полюса составляет 135° (90° от первого полюса плюс дополнительные 45°, наблюдаемые на самой частоте полюса).
5. Частота второго полюса – это точка, в которой спад амплитуды переходит от 20 дБ/декада к 40 дБ/декада.

Поэтому, принимая во внимание эти пять моментов, мы можем утверждать следующее: усилитель с частотнонезависимой цепью обратной связи будет достаточно устойчивым, если график амплитуды 20lg(1/β) пересекает график амплитуды 20lg(A) в части графика 20lg(A), где спад составляет 20 дБ/декада. Почему достаточно устойчивый, а не просто теоретически устойчивый? Поскольку частота второго полюса имеет сдвиг фазы примерно 135°, и, таким образом, пересечение перед этим полюсом указывает, что сдвиг фазы на частоте единичного петлевого усиления, по меньшей мере, на 45° меньше 180° (180° - 135° = 45°). Другими словами, пересечение в области спада 20 дБ/декада указывает на то, что наш запас по фазе удовлетворяет правилу 45°.

Заключение

Этот результат, касающийся наклона спада в точке пересечения, очень интересный, но он может стать еще лучше. На самом деле мы можем обобщить этот метод, чтобы использовать частотнозависимые схемы обратной связи, следующим образом: если разница между наклоном амплитудно-частотной характеристики усилителя без обратной связи и наклоном амплитудно-частотной характеристики усилителя с обратной связью не превышает 20 дБ/декаду в точке пересечения, усилитель достаточно устойчив. Альтернативный метод анализа устойчивости, обсуждаемый в этой статье, несколько проще, чем стандартный метод, и он более практичен в ситуациях, когда у вас нет возможности или желания выполнять моделирование – вы можете получить хорошее представление об устойчивости схемы для различных коэффициентов усиления с обратной связью просто либо с приблизительными положениями полюсов, либо с графиком усиления без обратной связи из технического описания. Но, как вы увидите в следующей статье, этот метод может быть особенно полезен, когда вы интуитивно или аналитически исследуете устойчивость схем отрицательной обратной связи, в которой необходимо учитывать частотную характеристику цепи обратной связи.

Теги