Введение в комплексные числа
Если бы мне нужно было описать расстояние между двумя городами, я мог бы дать ответ, состоящий из одного числа в милях, километрах или какой-либо другой единице линейного измерения.
Но, если бы я должен был описать, как путешествовать из одного города в другой, мне пришлось бы предоставить больше информации, чем просто расстояние между этими двумя городами; я должен был бы также предоставить информацию о направлении движения.
Информация, которая выражает одно измерение, такое как линейное расстояние, в математике называется скалярной величиной. Скалярные числа – это числа, которые вы до сих пор использовали в большинстве своих математических задач.
Например, напряжение, создаваемое батареей, является скалярной величиной. Так же как и сопротивление куска провода (омы) или ток через него (амперы).
Однако когда мы начинаем анализировать цепи переменного тока, мы обнаруживаем, что значения напряжения, тока и даже сопротивления (называемого импедансом для переменного тока) не являются привычными одномерными величинами, которые мы привыкли измерять в цепях постоянного тока.
Эти величины, поскольку они динамичны (изменяются по направлению и амплитуде), обладают другими параметрами, которые необходимо принимать во внимание. Здесь вступают в игру два новых параметра: частота и сдвиг фазы.
Даже с относительно простыми цепями переменного тока, где мы имеем дело только с одной частотой, мы всё еще имеем дело со сдвигом фазы, который в дополнение к амплитуде так же нужно учитывать.
Чтобы успешно выполнять анализ цепей переменного тока, нам необходимо работать с математическими объектами и методами, способными представлять эти многомерные значения.
Здесь нам нужно отказаться от скалярных чисел в пользу чего-то более подходящего: комплексных чисел. Как и в примере с указанием направления из одного города в другой, величины переменного тока в одночастотной цепи имеют как амплитуду (аналогия: расстояние), так и сдвиг фазы (аналогия: направление).
Комплексное число – это одна математическая величина, способная одновременно выразить эти два значения одновременно: амплитуду и сдвиг фазы.
Графическое представление комплексных чисел
Комплексные числа легче понять, если они представлены графически. Если я проведу линию с определенной длиной (величина) и под определенным углом (направление), у меня будет графическое представление комплексного числа, которое обычно известно в физике как вектор:
Как и с расстояниями и направлениями на карте, здесь должна быть какая-то общая система отсчета, чтобы значения углов имели какое-либо значение. В этом случае направление прямо вправо принимается за 0°, а углы отсчитываются в положительном направлении против часовой стрелки:
В идее представления числа в графической форме нет ничего нового. Мы все узнали об этом в начальной школе с «числовой прямой»:
Мы даже узнали, как работает сложение и вычитание, увидев, как длины (величины) складываются, чтобы дать окончательный ответ:
Позже мы узнали, что есть способы обозначать значения между целыми числами, отмеченными на этой прямой. Это были дробные или десятичные значения:
А еще числовая прямая может быть расширена влево от нуля:
Все эти числа (целые, рациональные, иррациональные, действительные и т.д.), изученные в начальной школе, имеют общую черту: все они одномерные. Это наглядно иллюстрирует прямота числовой прямой.
Вы можете перемещаться вверх или вниз по числовой линии, но всё «движение» вдоль этой линии ограничено одной осью (горизонтальной).
Одномерные скалярные числа идеально подходят для подсчета бусинок, представления веса или измерения напряжения батареи постоянного тока, но они не способны представить что-то более сложное, например расстояние и направление между двумя городами, или амплитуду и фазу сигнала переменного тока.
Чтобы представить такие типы величин, нам нужны многомерные представления. Другими словами, нам нужна числовая прямая, которая может указывать в разные стороны, и это именно то, чем и является вектор.
Резюме
- Скалярное число – это тип математического объекта, который люди привыкли использовать в повседневной жизни: одномерная величина, такая как температура, длина, вес и т.д.
- Комплексное число – это математическая величина, представляющая два измерения: величину и направление.
- Вектор – это графическое представление комплексного числа. Он похож на стрелку с начальной точкой, концом, определенной длиной и определенным направлением. В электрических приложениях угол вектора представляет собой фазовый сдвиг между сигналами.