Арифметика комплексных чисел
Поскольку комплексные числа – это корректные математические объекты, как и скалярные числа, их можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в квадрат, инвертировать и т.д., как и любые другие числа.
Некоторые научные калькуляторы запрограммированы на выполнение таких операций непосредственно с двумя или более комплексными числами, но эти операции также можно выполнять «вручную». В данном разделе показано, как выполняются основные операции.
Настоятельно рекомендуется вооружиться научным калькулятором, способным легко выполнять арифметические операции над комплексными числами. Это сделает ваше изучение цепей переменного тока намного более приятным, чем, если бы вы были вынуждены проделывать все вычисления дольше вручную.
Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме
Складывать и вычитать комплексные числа в алгебраической форме очень просто. В случае сложения просто сложите действительные составляющие комплексных чисел, чтобы определить действительную составляющую суммы, и сложите мнимые составляющие комплексных чисел, чтобы определить мнимую составляющую суммы:
При вычитании комплексных чисел в алгебраической форме просто вычтите действительную составляющую второго комплексного числа из действительной составляющей первого, чтобы получить действительную составляющую разности, и вычтите мнимую составляющую второго комплексного числа из мнимой составляющей первого числа, чтобы получить мнимую составляющую разности:
Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме
Для обычного умножения и деления предпочтительнее использовать полярную форму записи комплексных чисел. При умножении комплексных чисел в полярной форме просто умножьте друг на друга амплитуды комплексных чисел, чтобы определить амплитуду произведения, и сложите углы комплексных чисел, чтобы определить угол произведения:
Делить комплексные числа в полярной форме также легко: просто разделите амплитуду первого комплексного числа на амплитуду второго комплексного числа, чтобы получить амплитуду частного, и вычтите угол второго комплексного числа из угла первого комплексного числа, чтобы получить угол частного:
Чтобы получить обратное значение, или «инвертировать» (1/x) комплексное число, просто разделите число (в полярной форме) на скалярное значение 1, которое является не чем иным, как комплексным числом без мнимой составляющей (угол = 0):
Это основные операции, которые вам необходимо знать, чтобы манипулировать комплексными числами при анализе цепей переменного тока. Однако операции с комплексными числами никоим образом не ограничиваются только сложением, вычитанием, умножением, делением и инвертированием.
Практически любая арифметическая операция, которая может быть выполнена со скалярными числами, может быть применена и к комплексным числам, включая возведение в степень, извлечение корня, решение систем уравнений с комплексными коэффициентами и даже тригонометрические функции (хотя это включает в себя совершенно новую часть тригонометрии, называемую гиперболическими функциями, что выходит за рамки данного обсуждения).
Если вы знакомы с основными арифметическими операциями сложения, вычитания, умножения, деления и инвертирования, у вас не будет проблем с анализом цепей переменного тока.
Резюме
- Чтобы сложить комплексные числа в алгебраической форме, сложите действительные компоненты и сложите мнимые компоненты. Вычитание выполняется аналогично.
- Чтобы перемножить комплексные числа в полярной форме, перемножьте амплитуды (модули) и сложите углы. Чтобы разделить, разделите амплитуды (модули) и вычтите один угол из другого.