Проектирование и моделирование оптимизированной петли фазовой автоподстройки частоты
В данной статье мы рассмотрим оптимизацию переходного процесса системы ФАПЧ (PLL), используя моделирование и пример проектирования.
Вспомогательная информация
Если вы еще не знакомы с ФАПЧ (PLL), я рекомендую вам прочитать хотя бы первую и последнюю статьи из перечисленных в разделе «Вспомогательная информация», хотя, по моему мнению, они все заслуживают прочтения. Статья под названием «Как оптимизировать переходной процесс петли ФАПЧ» особенно важна, потому что она содержит справочную информацию, которая поможет вам понять, что мы делаем в этой статье.
(Очень) краткий обзор
Система ФАПЧ может быть смоделирована как типовая система управления второго порядка, и, следовательно, можно спроектировать ФАПЧ так, чтобы она имела необходимый коэффициент демпфирования (затухания), т.е. чтобы она быстро и плавно фиксировалась на входной частоте. Коэффициент затухания (DR, «damping ratio», обычно обозначаемый как ζ) связан с частотой среза ФНЧ (ωФНЧ) и общим коэффициентом усиления (K) в соответствии со следующей формулой:
\[DR=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{ФНЧ}}{K}}\]
Из этой формулы видно, что для выбранного DR требуется определенное соотношение между частотой среза и коэффициентом усиления. Таким образом, вы не можете просто выбрать DR и затем рассчитать частоту среза на основе K, поскольку это может привести к тому, что ФНЧ не будет адекватно сглаживать сигнал фазового детектора. Скорее вам также нужно уменьшить K, пока он не станет достаточно маленьким, чтобы обеспечить соответствующую частоту среза.
Проблема высокого коэффициента усиления
В предыдущей статье я показал вам не совсем сглаженный управляющий сигнал, который генерировала моя система ФАПЧ, когда я пытался оптимизировать фильтр нижних частот без подстройки коэффициента. Давайте внимательнее посмотрим на то, что я там сделал.
Это исходная схема (т.е. до оптимизации).
Общий коэффициент усиления системы ФАПЧ равен коэффициенту усиления фазового детектора, умноженному на коэффициент усиления генератора, управляемого напряжением.
\[K=K_{ФД}\times K_{ГУН}\]
Коэффициент усиления фазового детектора связывает разницу фаз между входными сигналами и амплитуду выходного сигнала. Мой фазовый детектор – это логический элемент исключающее ИЛИ (XOR); если я подам на него два идеально противофазных прямоугольных сигнала, выходной сигнал всегда будет логическим высоким, что в моей схеме означает 5 В. «Идеально противофазные» соответствует разности фаз π, и, следовательно, коэффициент усиления моего фазового детектора составляет (5 вольт)/(π радиан) ≈ 1,6 В/радиан.
Коэффициент усиления ГУН связывает изменение управляющего напряжения с изменением частоты. Если управляющее напряжение в моей LTspice схеме увеличивается на 1 В, управляющий ток увеличивается на 1,2 мкА. Проведя несколько симуляций, я определил, что увеличение тока на 1,2 мкА соответствует увеличению частоты на ~2,13 кГц. Таким образом, коэффициент усиления моего ГУН составляет 2130 Гц/В; однако нам необходимо поддерживать единообразные единицы измерения, поэтому при расчете мы будем использовать (2130 × 2π) ≈ 13383 (рад/с)/В.
Таким образом, общий коэффициент усиления равен:
\[K=K_{ФД}\times K_{ГУН}=1.6\ \frac{В}{радиан}\times13383\ \frac{рад/с}{В}\approx21413\ с^{-1}\]
Теперь давайте рассчитаем частоту среза, которая необходима при DR = 1.
\[1=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{ФНЧ}}{21413}}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \omega_{ФНЧ}=85652\ \frac{рад}{с}\approx13632\ Гц\]
Учитывая, что входной сигнал ФАПЧ имеет частоту 5 кГц, неудивительно, что управляющий сигнал выглядит следующим образом:
Компромисс
Возможно, вы уже поняли, что процесс оптимизации системы ФАПЧ включает в себя утомительный поиск компромисса. Для подавления высокочастотных составляющих в сигнале фазового детектора нам нужна низкая частота среза, а низкая частота среза требует низкого коэффициента усиления. Проблема здесь в том, что более низкий коэффициент усиления делает систему ФАПЧ работающей в более узком диапазоне входных частот:
- Управляющее напряжение имеет ограниченный диапазон; в моем случае это от 0 до 5 В.
- Выходная частота ГУН пропорциональна управляющему напряжению.
- Более низкий коэффициент усиления ГУН означает, что данный диапазон управляющего напряжения соответствует более узкому диапазону выходных частот.
- Таким образом, снижение коэффициента усиления уменьшает диапазон допустимых входных частот, поскольку система ФАПЧ не сможет зафиксировать частоту, для которой требуется управляющее напряжение, выходящее за пределы диапазона управляющего напряжения схемы.
Эта оптимизация действительно работает?
Насколько я могу сказать, да. Я изменил свою схему системы ФАПЧ в LTspice с учетом оптимизации переходных процессов, и результаты, как вы вскоре увидите, выглядят неплохо.
Процедура оптимизации:
- Как обсуждалось выше, частота моего ГУН увеличивается примерно на 2,13 кГц для каждых 1,2 мкА тока управления, поэтому отношение частоты к току составляет 1775 Гц/мкА ≈ 11153 (рад/с)/мкА.
- Я ожидаю, что входные частоты будут около 5 кГц, и, скажем, что я хочу, чтобы частота среза ФНЧ была ниже примерно в десять раз: ωФНЧ = 2π × (500 Гц) = 3141,6 рад/с.
- (Я собираюсь опустить единицы измерения для значений коэффициентов усиления, чтобы расчеты не выглядели слишком громоздко.) Используя приведенную выше формулу коэффициента затухания с DR = 1 и ωФНЧ = 3141,6 рад/с, мы получаем K ≈ 785. Делим его на 1,6 (=KФД) и получаем KГУН = 490,6. В своем моделировании я могу легко установить коэффициент усиления ГУН на необходимое мне значение, но давайте представим, что мы ограничены значениями коэффициента усиления, предлагаемыми несколькими готовыми ГУН, ближайший из которых составляет 450.
- Теперь вернемся к формуле DR; с DR = 1 и K = 450×1,6 = 720 мы находим, что ωФНЧ = 2880 рад/с. При преобразовании этого значения в герцы мы получаем частоту среза ФНЧ приблизительно 485 Гц и затем соответствующим образом изменяем сопротивление и/или емкость.
- Почти готово. Теперь нам нужно изменить настраиваемый источник тока так, чтобы коэффициент усиления ГУН был равен 450. Мы знаем, что увеличение управляющего тока на один микроампер приведет к увеличению частоты на 11153 рад/с, и мы также знаем, что хотим, чтобы изменение управляющего напряжения на один вольт приводило к изменению частоты на 450 рад/с. Таким образом, изменение управляющего напряжения на один вольт должно соответствовать изменению тока на 0,04 мкА, потому что 450/11153 = 0,04.
- Последний шаг – добавить смещение к настраиваемому источнику тока. Коэффициент усиления ГУН теперь довольно мал, и смещение выбирается так, чтобы начальная выходная частота ГУН была близка к ожидаемой входной частоте, а точнее, достаточно близко, чтобы наш ограниченный диапазон управляющего напряжения был достаточен для перемещения частоты ГУН к входной частоте.
Вот оптимизированная схема:
На следующем графике показаны управляющие напряжения для оптимизированной системы ФАПЧ и исходной системы ФАПЧ. Начальный скачок на оптимизированной характеристике заставляет меня нервничать, но нет никаких сомнений в том, что оптимизированное управляющее напряжение устанавливается на конечное значение гораздо быстрее, чем неоптимизированное управляющее напряжение, и без каких-либо колебаний.
Честно говоря, мне не очень нравится новая схема потому, что в управляющем напряжении слишком много пульсаций. Следующая схема является другой оптимизированной версией, но с более низкой частотой среза (~100 Гц). В этом случае коэффициент затухания составляет 0,91.
Теперь серьезно. Вы когда-нибудь думали, что переходной процесс системы ФАПЧ может быть таким хорошим?
Заключение
Мы рассмотрели дополнительные подробности, касающиеся факторов, которые влияют на способность системы ФАПЧ быстро и с минимальными колебаниями захватывать входную частоту. Мы шаг за шагом прошли через пример проектирования с использованием схемы для LTspice, и, к моему большому облегчению, результаты моделирования соответствуют нашим ожиданиям.
Вы можете нажать на зеленую кнопку ниже, чтобы скачать мою схему для LTspice, которая включает в себя исходную и оптимизированную схемы.