Арифметические операции при экспоненциальной записи
Преимущества экспоненциальной записи не ограничиваются простотой написания и выражением точности. Такой тип записи также хорошо подходит для математических задач умножения и деления. Допустим, мы хотели знать, сколько электронов пройдет за 25 секунд мимо точки в цепи, по которой проходит электрический ток 1 А.
Если мы знаем количество электронов в цепи в секунду (что так и есть), то всё, что нам нужно сделать, чтобы получить ответ, касающийся общего количества электронов, это умножить это количество на количество секунд (25):
(6250000000000000000 электронов в секунду) x (25 секунд) = 156250000000000000000 электронов за 25 секунд
Используя экспоненциальную запись, мы можем записать задачу так:
(6,25 x 1018 электронов в секунду) x (25 секунд)
Если мы возьмем число «6,25» и умножим его на 25, получим 156,25. Итак, ответ можно записать так:
156,25 x 1018 электронов
Однако, если мы хотим придерживаться стандартного соглашения для экспоненциальной записи, мы должны представлять значащие цифры как число от 1 до 10. В этом случае мы бы сказали «1,5625», умноженное на некоторую степень десяти. Чтобы получить 1,5625 из 156,25, мы должны переместить десятичную запятую на два разряда влево.
Чтобы компенсировать это без изменения значения числа, мы должны увеличить нашу степень на два (10 в 20-й степени вместо 10 в 18-й степени):
1,5625 x 1020 электронов
Что, если бы мы захотели узнать, сколько электронов пройдет за 3600 секунд (1 час)? Чтобы облегчить работу, мы могли бы записать время так же в экспоненциальной записи:
(6,25 x 1018 электронов в секунду) x (3,6 x 103 секунды)
Для умножения мы должны взять два значащих набора цифр (6,25 и 3,6) и перемножить их, а затем взять две десятки со степенями перемножить их. Умножая 6,25 на 3,6, получаем 22,5. Умножение 1018 на 103 дает в результате 1021 (показатели степени с общим основанием складываются). Итак, ответ:
22,5 х 1021 электронов
. . . или правильнее. . .
2,25 х 1022 электронов
Чтобы проиллюстрировать, как при экспоненциальной записи выполняется деление, мы могли бы решить эту последнюю задачу «задом наперед», чтобы выяснить, сколько времени потребуется, чтобы пройти такому количеству электронов при токе в 1 ампер:
(2,25 x 1022 электронов) / (6,25 x 1018 электронов в секунду)
Так же, как и в умножении, мы можем обрабатывать значащие цифры и степени десяти по отдельности (помните, что при делении мы вычитаем друг из друга показатели степеней десяти):
(2,25 / 6,25) х (1022 / 1018)
И ответ: 0,36 x 104 или 3,6 x 103 секунды. Как видите, мы пришли к такому же количеству времени (3600 секунд). Теперь вам может быть интересно, в чем смысл всего этого, когда у нас есть калькуляторы, которые могут обрабатывать математические действия автоматически.
Что ж, во времена, когда ученые и инженеры использовали «аналоговые компьютеры» из логарифмической линейки, эти методы были незаменимы. «Жесткая» арифметика (работа со значащими цифрами) будет выполняться с помощью логарифмической линейки, в то время как степени десяти могут быть вычислены без какой-либо помощи вообще, представляя собой не что иное, как простое сложение и вычитание.
Резюме
- Значащие цифры отражают реальную точность числа.
- Экспоненциальная запись – это «сокращенный» метод представления очень больших и очень маленьких чисел в удобной для понимания форме.
- При умножении двух чисел в экспоненциальном представлении вы можете перемножить две значащие цифры (мантиссы) и получить степень десяти, сложив степени десяти (порядки).
- При делении двух чисел в экспоненциальном представлении вы можете разделить две значащие цифры и получить степень десяти, вычитая степени десяти.