Экспоненциальная запись

Во многих областях науки и техники необходимо манипулировать очень большими и очень маленькими числовыми величинами. Некоторые из этих значений ошеломляют своими размерами, либо очень маленькими, либо чрезвычайно большими. Возьмем, к примеру, массу протона, одной из составляющих частиц ядра атома:

Масса протона = 0,00000000000000000000000167 грамма

Или рассмотрим количество электронов, проходящих через точку в цепи каждую секунду при постоянном электрическом токе 1 ампер:

1 ампер = 6250000000000000000 электронов в секунду

Много нулей, не правда ли? Очевидно, что работа с таким количеством нулей в числах, подобных этому, может стать довольно запутанной, даже с помощью калькуляторов и компьютеров.

Обратите внимание на эти два числа и на относительную редкость в них ненулевых цифр. Что касается массы протона, всё, что у нас есть, – это «167», перед которыми идут 23 нуля до достижения десятичной запятой. Для количества электронов в секунду для 1 ампера у нас есть «625», за которым следуют 16 нулей.

Диапазон ненулевых цифр (от первого до последнего) плюс любые нулевые цифры, которые используются не только в качестве заполнителей, мы называем «значащими цифрами» любого числа.

Значащие цифры в реальности обычно отражают точность измерения. Например, если мы скажем, что автомобиль весит 3000 фунтов, мы, вероятно, будем иметь в виду не то, что рассматриваемый автомобиль весит ровно 3000 фунтов, а то, что мы округлили его вес до значения, более удобного для произнесения и запоминания.

Округленная цифра 3000 имеет только одну значащую цифру: цифру «3» впереди – нули служат просто заполнителями. Однако если бы мы сказали, что автомобиль весит 3005 фунтов, тот факт, что вес не округлен до ближайшей тысячи фунтов, говорит нам, что два нуля в середине не просто заполнители, а все четыре цифры числа «3005» имеют значение для его точности. Таким образом, число «3005» состоит из четырех значащих цифр.

Точно так же числа с множеством нулей не обязательно представляют реальную величину вплоть до десятичной запятой. Когда это известно, такое число, чтобы с ним было легче работать, может быть записано в виде математического «сокращения». Это «сокращение» называется экспоненциальной записью.

В экспоненциальной записи число записывается, представляя его значащие цифры как значение от 1 до 10 (или от -1 до -10, для отрицательных чисел), а нули-заполнители учитываются с помощью множителя степени десяти. Например:

1 ампер = 6250000000000000000 электронов в секунду

. . . можно записать как. . .

1 ампер = 6,25 x 10¹⁸ электронов в секунду

10 в 18-ой степени (10¹⁸) означает 10, умноженное на себя 18 раз, или «1» с 18 нулями. Его умножение на 6,25 дает в результате «625» с 16 нулями (возьмите 6,25 и переместите десятичную запятую на 18 разрядов вправо). Преимущества экспоненциальной записи очевидны: число не так громоздко, когда написано на бумаге, а значащие цифры легко идентифицировать.

Но как насчет очень малых чисел, таких как масса протона в граммах? Мы по-прежнему можем использовать экспоненциальную запись, но с отрицательной степенью десяти вместо положительной, для смещения десятичной запятой влево, а не вправо:

Масса протона = 0,00000000000000000000000167 грамма

. . . можно записать как. . .

Масса протона = 1,67 x 10^-24 грамма

10 в -24-ой степени (10^-24) означает обратное (1/x) число 10, умноженное на себя 24 раза, или «1», перед которой стоит десятичная запятая и 23 нуля. Умножение на 1,67 дает в результате «167», перед которым стоит десятичная запятая и 23 нуля. Как и в случае с очень большим числом, человеку намного проще иметь дело с этой «сокращенной» записью. Как и в предыдущем случае, значащие цифры в этом числе четко выражены.

Поскольку значащие цифры представлены «сами по себе», в отличие от множителя степени десяти, легко показать уровень точности, даже если число выглядит круглым. Взяв наш пример с автомобилем весом 3000 фунтов, мы могли бы выразить округленное число 3000 в экспоненциальной записи как:

вес машины = 3 x 10³ фунта

Если бы автомобиль на самом деле весил 3005 фунтов (с точностью до фунта), и мы хотели бы иметь возможность выразить точность измерения полностью, это число в экспоненциальной записи можно было бы записать так:

вес машины = 3,005 x 10³ фунта

Однако что, если машина действительно весит 3000 фунтов (с точностью до фунта)? Если бы мы записали ее вес в «обычной» форме (3000 фунтов), не обязательно было бы ясно, что это число действительно было с точностью до ближайшего фунта, а не просто округлено до ближайшей тысячи фунтов или до ближайшей сотни фунтов, или с точностью до десяти фунтов. Экспоненциальная запись, напротив, позволяет нам без недоразумений показать, что все четыре цифры являются значащими:

вес машины = 3,000 x 10³ фунта

Поскольку не было бы никакого смысла добавлять дополнительные нули справа от десятичной запятой (поскольку для экспоненциальной записи не нужны дополнительные нули-заполнители), мы знаем, что эти нули должны иметь значение для точности числа.

Теги