Как преобразование Лапласа используется в проектировании схем?

Добавлено 15 июня 2020 в 00:36

В данной статье мы кратко рассмотрим, как преобразование Лапласа может помочь нам разрабатывать схемы, работающие с затухающими и устойчивыми синусоидальными сигналами.

В ответе на этот частый инженерный вопрос (FEQ, Frequent Engineering Question) мы кратко рассмотрим анализ и проектирование цепей переменного тока с использованием преобразования Лапласа.

Распространенной задачей в электротехнике является проектирование и анализ цепей, в которых токи и напряжения непрерывно изменяются синусоидальным образом.

Когда мы работаем с этим типом цепей, мы обычно фокусируемся на амплитуде и фазе сигналов, а не на непрерывных изменениях. Мы предполагаем, что сигналы являются и всегда будут синусоидами, поскольку такие компоненты, как резисторы, конденсаторы и идеализированные усилители, не приводят к потере синусоидальной формы сигнала.

Однако эти компоненты влияют на амплитуду и фазу сигналов.

Анализ цепей с помощью векторов

Распространенным методом анализа цепей относительно амплитуды и фазы является использование векторов, представляющих собой комплексные числа, представляющие синусоидальные электрические сигналы.

Когда мы выполняем векторный анализ, мы работаем в частотной области, и выражения для тока или напряжения записываются как функции от , где j – мнимая единица, а ω – угловая частота. Вектора помогают нам работать со схемами, в которых используются устойчивые синусоидальные сигналы.

Затухающие и устойчивые синусоиды

Преобразование Лапласа расширяет этот подход, включая не только устойчивые, но и затухающие синусоиды. Оно преобразует функцию времени f(t) в функцию комплексной частоты. Для обозначения комплексной частоты мы используем букву s, и, таким образом, после применения преобразования Лапласа f(t) становится F(s). Комплексная частота определяется следующим образом:

\[s = \sigma + j\omega\]

где σ – это постоянная, которая влияет на то, как изменяется амплитуда синусоиды. При σ = 0 затухания нет.

Инженеры-электрики обычно работают с устойчивыми, а не с затухающими синусоидами. Это позволяет нам предполагать, что s = jω, и мы можем произвести преобразование Лапласа сигнала, просто взяв выражение F(jω) и заменив на s.

Преобразование Лапласа в анализе цепей переменного тока

Преобразование Лапласа широко используется при проектировании и анализе цепей и систем переменного тока. Мы можем выразить токи, напряжения и импедансы как функции от s. Например, импеданс конденсатора можно записать как

\[Z_C(s)=\frac{1}{sC}\]

Отношения между входом и выходом мы так же часто записываем как функции от s. Например, передаточная функция фильтра нижних частот может быть выражена следующим образом:

\[T(s)=\frac{a_0}{s+\omega _0}\]

Мы также выполняем графический анализ передаточной функции, нанося ее полюсы и нули на то, что называется s-плоскостью. Следующая диаграмма представляет собой представление на s-плоскости передаточной функции фильтра Баттерворта четвертого порядка.

Рисунок 4 Этот конкретный фильтр имеет четыре полюса. Дополнительные полюса должны следовать этому же шаблону.
Рисунок 1 – Представление в s-плоскости передаточной функции фильтра Баттерворта четвертого порядка

Материалы для дальнейшего чтения

В данной статье мы рассмотрели, как преобразование Лапласа может помочь нам расширить наш анализ цепей переменного тока с помощью векторов для включения в анализ затухающих и устойчивых синусоид. Чтобы освежить в памяти некоторые другие основы, такие как передаточные функции и сдвиг фазы в аналоговых схемах, ознакомьтесь со статьями из списка ниже.

Теги

FAQFEQ / Частые инженерные вопросыs-областьs-плоскостьАмплитудаБаттервортВекторЗатухающая синусоидаПередаточная функцияПреобразование ЛапласаУстойчивая синусоидаФазаФильтр БаттервортаЦепи переменного тока

На сайте работает сервис комментирования DISQUS, который позволяет вам оставлять комментарии на множестве сайтов, имея лишь один аккаунт на Disqus.com.

В случае комментирования в качестве гостя (без регистрации на disqus.com) для публикации комментария требуется время на премодерацию.