Связь между временной и частотной областями представления сигналов

Добавлено9 января 2021 в 02:15

Электрические сигналы можно исследовать во временной области с помощью осциллографа и в частотной области с помощью анализатора спектра (рисунок 1).

Рисунок 1 Сигналы, исследуемые во временной и частотной областях
Рисунок 1 – Сигналы, исследуемые во временной и частотной областях

Эти два режима отображения сигналов связаны друг с другом преобразованием Фурье (обозначается как F), поэтому каждый сигнал во временной области имеет характерный частотный спектр. Таким образом, связь представлениями во временной и частотной областях будет следующей:

\[X_f (f) = F\{ x(t) \} = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} \ dt \qquad (1)\]

и

\[x(t) = F^{-1}\{X_f(f) \} = \int_{-\infty}^{+\infty}X_f(f) \cdot e^{j2\pi ft} \ df \qquad (2)\]

где

  • \(F\{ x(t) \}\) – преобразование Фурье от \(x(t)\);
  • \(F^{-1}\{X_f(f) \}\) – обратное преобразование Фурье от \(X_f (f)\);
  • \(x(t)\) – сигнал во временной области;
  • \(X_f (f)\) – комплексный сигнал в частотной области.

Чтобы проиллюстрировать эту взаимосвязь, сначала исследуем сигналы только с периодическим откликом во временной области.

Периодические сигналы

Согласно теореме Фурье любой сигнал, являющийся периодическим во временной области, может быть получен из суммы синусоидальных и косинусоидальных сигналов разной частоты и амплитуды. Такая сумма называется рядом Фурье. В этом случае применима следующая формула:

\[x(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cdot \sin(n \cdot \omega_0 \cdot t) + \sum_{n=1}^{\infty} B_n \cdot \cos(n \cdot \omega_0 \cdot t) \qquad (3)\]

Коэффициенты Фурье A0, An и Bn зависят от формы сигнала x(t) и могут быть рассчитаны следующим образом:

\[A_0 = \frac{2}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) \ dt \qquad (4)\]

\[A_n = \frac{2}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) \cdot \sin(n \cdot \omega_0 \cdot t) \ dt \qquad (5)\]

\[B_n = \frac{2}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) \cdot \cos(n \cdot \omega_0 \cdot t) \ dt \qquad (6)\]

На рисунке 2b показан прямоугольный сигнал, аппроксимированный в ряд Фурье. Отдельные компоненты этого ряда Фурье показаны на рисунке 2a. Чем больше этих компонентов, тем итоговый сигнал ближе к идеальным прямоугольным импульсам.

Рисунок 2 Аппроксимация прямоугольного сигнала путем суммирования различных синусоидальных колебаний
Рисунок 2 – Аппроксимация прямоугольного сигнала путем суммирования различных синусоидальных колебаний

В случае синусоидальных или косинусоидальных сигналов для уравнения 1 можно найти решение в замкнутой форме, и для отображения комплексного спектра будут получены следующие соотношения:

\[F \{ \sin(2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot t) \} = \frac{1}{j} \cdot \delta (f-f_0) = -j \cdot \delta (f-f_0) \qquad (7)\]

и

\[F \{ \cos(2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot t) \} = \delta (f-f_0) \qquad (8)\]

где \(\delta (f-f_0)\) – функция Дирака:

\[\begin{equation*} \delta (f-f_0) = \begin{cases} \infty &\text{если } f-f_0=0 \ \text{, т.е. } f=f_0 \\\ 0 \end{cases} \end{equation*} \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (f-f_0) \ df = 1\]

Можно видеть, что частотный спектр и синусоидального, и косинусоидального сигналов является функцией Дирака при f0 (смотрите рисунок 4a). Преобразования Фурье синусоидального и косинусоидального сигналов идентичны по величине, так что эти два сигнала демонстрируют идентичный амплитудный спектр на одной и той же частоте f0.

Чтобы вычислить частотный спектр периодического сигнала, временная характеристика которого описывается рядом Фурье в соответствии с уравнением 3, необходимо преобразовать каждый компонент ряда. Каждый из этих элементов приводит к функции Дирака, то есть дискретной составляющей в частотной области. Поэтому периодические сигналы всегда демонстрируют дискретные спектры, которые также называются линейчатыми спектрами. Например, спектр, показанный на рисунке 3, получен для аппроксимированного прямоугольного сигнала на рисунке 2.

Рисунок 3 Амплитудный спектр аппроксимированного прямоугольного сигнала, показанного на рисунке 2
Рисунок 3 – Амплитудный спектр аппроксимированного прямоугольного сигнала, показанного на рисунке 2

На рисунке 4 показаны еще несколько примеров периодических сигналов во временной и частотной областях.

Рисунок 4 Периодические сигналы во временной и частотной области (амплитудные спектры)
Рисунок 4 – Периодические сигналы во временной и частотной области (амплитудные спектры)

Непериодические сигналы

Сигналы с непериодическим поведением во временной области не могут быть описаны рядом Фурье. Следовательно, частотный спектр таких сигналов не может быть составлен из дискретных спектральных составляющих. Непериодические сигналы демонстрируют непрерывный частотный спектр с частотно-зависимой спектральной плотностью. Представление такого сигнала в частотной области вычисляется с помощью преобразования Фурье (уравнение 1).

Подобно синусоидальным и косинусоидальным сигналам, решение уравнения 1 в замкнутой форме может быть найдено для многих сигналов. Таблицы с такими парами преобразований можно найти в [1].

Для сигналов со случайными характеристиками во временной области, таких как шум или случайные битовые последовательности, решение в замкнутой форме встречается редко. В этом случае частотный спектр легче определить численным решением уравнения 1.

На рисунке 5 показаны некоторые непериодические сигналы во временной и частотной областях.

Рисунок 5 Непериодические сигналы во временной и частотной областях
Рисунок 5 – Непериодические сигналы во временной и частотной областях

В зависимости от типа выполняемого измерения, полезными могут быть исследования либо во временной, либо в частотной области. Например, для измерения джиттера сигнала цифровой передачи данных требуется осциллограф. Для определения содержания гармоник более полезно исследовать сигнал в частотной области.

Сигнал, показанный на рисунке 6, кажется чистой синусоидой с частотой 20 МГц. Исходя из приведенных выше соображений, можно было бы ожидать, что его частотный спектр будет состоять только из одного компонента на частоте 20 МГц.

Рисунок 6 Синусоидальный сигнал (f = 20 МГц), исследуемый на осциллографе
Рисунок 6 – Синусоидальный сигнал (f = 20 МГц), исследуемый на осциллографе

Однако при исследовании сигнала в частотной области с помощью анализатора спектра становится очевидным, что основная гармоника (гармоника 1-го порядка) накладывается на несколько гармоник более высокого порядка, то есть кратные 20 МГц (рисунок 7). Исследуя сигнал во временной области, эту информацию получить нелегко, и практическая количественная оценка высших гармоник невозможна. Кратковременную стабильность частоты и амплитуды синусоидального сигнала намного легче исследовать в частотной области, чем во временной (смотрите также раздел 6.1 «Измерение фазового шума).

Рисунок 7 Исследование синусоидального сигнала, показанного на рисунке 6, в частотной области с помощью анализатора спектра
Рисунок 7 – Исследование синусоидального сигнала, показанного на рисунке 6, в частотной области с помощью анализатора спектра

Справочная информация

  1. Brigham E.O. The Fast Fourier Transform and its Application. Prentice Hall, 1988.

Теги

Временная областьНепериодические сигналыПериодические сигналыПреобразование ФурьеРяд ФурьеСпектрСпектральный анализЧастотная область