Что такое z-преобразование?

В данной статье, отвечающей на этот частый технический вопрос, дается краткий обзор важной математической методики, используемой в цифровой обработке сигналов, вычисление z-преобразования.

Если вы изучали преобразование Лапласа, вы знакомы с концепцией преобразования функции времени в функцию частоты. Переменная, используемая в преобразовании Лапласа, s, представляет комплексную частоту, то есть это частота с действительной и мнимой частями:

$$s=\sigma+j\omega$$

Вы можете думать о z-преобразовании как о версии преобразования Лапласа, дискретном по времени. Вместо s мы используем комплексную переменную z, и, применяя z-преобразование к последовательности точек данных, мы создаем выражение, которое позволяет нам выполнять анализ в частотной области для сигналов, дискретных по времени.

С помощью z-преобразования мы можем создавать передаточные функции для цифровых фильтров, а также строить диаграмму полюсов и нулей на комплексной плоскости для анализа устойчивости. Обратное z-преобразование позволяет нам преобразовать передаточную функцию в z-области в разностное уравнение, которое может быть реализовано в коде, написанном для микроконтроллера или цифрового сигнального процессора.

Как рассчитать z-преобразование

Соотношение между дискретным по времени сигналом x[n] и его односторонним z-преобразованием X(z) выражается следующим образом:

$$X(z)=\sum_{n=0}^\infty x[n]z^{-n}$$

Эта сумма начинается как последовательность отдельных значений, и так как мы суммируем от n = 0 до n = бесконечность, эта последовательность имеет бесконечную длину. Но что мы можем сделать с бесконечной последовательностью суммируемых элементов?

Здесь вступает в игру сходимость.

Сходимость в z-преобразовании

Рассмотрим единичную ступенчатую функцию, которую мы определяем следующим образом:

$$u[n]=\begin{cases}0 & n < 0\\1 & n \geq 0\end{cases}$$

В результате это дает следующую сумму:

$$X(z)=\sum_{n=0}^\infty u[n]z^{-n}=z^0+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+\ …$$

Бесконечная последовательность суммируемых чисел может сходиться к одному числу. Например:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ …\ =2$$

Если мы продолжим последовательность в соответствии с тем же шаблоном и будем суммировать все элементы, и число элементов будет приближаться к бесконечности, сумма будет приближаться к числу 2. При z-преобразовании элементы включают в себя переменную, но сходимость всё же может происходить – последовательность вместо числа сходится к выражению переменной.

Последовательность, показанная выше для единичной ступенчатой функции, сходится следующим образом:

$$X(z)=\sum_{n=0}^\infty u[n]z^{-n}=z^0+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+\ …=\frac{z}{z-1}$$

Сходиться будут не все z-преобразования. Вот примеры дискретных по времени сигналов, у которых z-преобразования «ведут себя хорошо»; обратите внимание, что все эти функции x[n] содержат единичную ступенчатую функцию в качестве множителя, поэтому операция z-преобразования применяется к последовательности, которая равна нулю при n <0.

$$x[n]=nu[n] \qquad \qquad X(z)=\frac{z}{(z-1)^2}$$

$$x[n]=a^nu[n] \qquad \qquad X(z)=\frac{z}{z-a}$$

$$x[n]=\sin(\omega n)u[n] \qquad \qquad X(z)=\frac{z\sin(\omega)}{z^2-2z\cos(\omega)+1}$$

У вас есть какие-либо дополнительные вопросы относительно z-преобразования? Дайте нам знать в комментариях ниже.

Теги