Что такое z-преобразование?
В данной статье, отвечающей на этот частый технический вопрос, дается краткий обзор важной математической методики, используемой в цифровой обработке сигналов, вычисление z-преобразования.
Если вы изучали преобразование Лапласа, вы знакомы с концепцией преобразования функции времени в функцию частоты. Переменная, используемая в преобразовании Лапласа, s, представляет комплексную частоту, то есть это частота с действительной и мнимой частями:
\[s=\sigma+j\omega\]
Вы можете думать о z-преобразовании как о версии преобразования Лапласа, дискретном по времени. Вместо s мы используем комплексную переменную z, и, применяя z-преобразование к последовательности точек данных, мы создаем выражение, которое позволяет нам выполнять анализ в частотной области для сигналов, дискретных по времени.
С помощью z-преобразования мы можем создавать передаточные функции для цифровых фильтров, а также строить диаграмму полюсов и нулей на комплексной плоскости для анализа устойчивости. Обратное z-преобразование позволяет нам преобразовать передаточную функцию в z-области в разностное уравнение, которое может быть реализовано в коде, написанном для микроконтроллера или цифрового сигнального процессора.
Как рассчитать z-преобразование
Соотношение между дискретным по времени сигналом x[n] и его односторонним z-преобразованием X(z) выражается следующим образом:
\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty x[n]z^{-n}\]
Эта сумма начинается как последовательность отдельных значений, и так как мы суммируем от n = 0 до n = бесконечность, эта последовательность имеет бесконечную длину. Но что мы можем сделать с бесконечной последовательностью суммируемых элементов?
Здесь вступает в игру сходимость.
Сходимость в z-преобразовании
Рассмотрим единичную ступенчатую функцию, которую мы определяем следующим образом:
\[u[n]=\begin{cases}0 & n < 0\\1 & n \geq 0\end{cases}\]
В результате это дает следующую сумму:
\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty u[n]z^{-n}=z^0+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+\ …\]
Бесконечная последовательность суммируемых чисел может сходиться к одному числу. Например:
\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ …\ =2\]
Если мы продолжим последовательность в соответствии с тем же шаблоном и будем суммировать все элементы, и число элементов будет приближаться к бесконечности, сумма будет приближаться к числу 2. При z-преобразовании элементы включают в себя переменную, но сходимость всё же может происходить – последовательность вместо числа сходится к выражению переменной.
Последовательность, показанная выше для единичной ступенчатой функции, сходится следующим образом:
\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty u[n]z^{-n}=z^0+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+\ …=\frac{z}{z-1}\]
Сходиться будут не все z-преобразования. Вот примеры дискретных по времени сигналов, у которых z-преобразования «ведут себя хорошо»; обратите внимание, что все эти функции x[n] содержат единичную ступенчатую функцию в качестве множителя, поэтому операция z-преобразования применяется к последовательности, которая равна нулю при n <0.
\[x[n]=nu[n] \qquad \qquad X(z)=\frac{z}{(z-1)^2}\]
\[x[n]=a^nu[n] \qquad \qquad X(z)=\frac{z}{z-a}\]
\[x[n]=\sin(\omega n)u[n] \qquad \qquad X(z)=\frac{z\sin(\omega)}{z^2-2z\cos(\omega)+1}\]
У вас есть какие-либо дополнительные вопросы относительно z-преобразования? Дайте нам знать в комментариях ниже.