Преобразование треугольник/звезда: что за сценой?

Преобразования треугольник/звезда позволяют нам заменить часть схемы другой схемой, которая, хотя и эквивалентна в поведении, но может значительно упростить анализ общей схемы. Здесь мы узнаем, откуда берутся эти преобразования.

Зачем?

Когда мы начали изучать электронику, резисторы были соединены либо последовательно, либо параллельно, и мы научились заменять такие комбинации их эквивалентными сопротивлениями, часто с целью уменьшения всей сети сопротивлений до единственного эквивалентного сопротивления, видимого из источника питания. После этого появились схемы (рисунок 1), которые содержали резисторы, которые не были ни последовательными, ни параллельными, но их всё же можно было убрать, тщательно определяя и сокращая фрагменты схемы в правильном порядке. Обратите внимание, что R₁ не параллелен и не последователен ни с R₂, ни с R₃, но путем объединения R₂ последовательно с R₄, и объединяя R₃ последовательно с R₅, мы можем затем объединить эти два эквивалентных сопротивления параллельно и, наконец, объединив результат последовательно с R₁, получить полное сопротивление, видимое источнику питания, которое, используя закон Ома, поможет получить общий ток источника питания.

Но теперь мы подошли к схемам (рисунок 2), где нет никаких пар резисторов, которые включены последовательно или параллельно, – похоже, мы зашли в тупик. Одним из способов анализа этой схемы является использование закона напряжений Кирхгофа (второй закон) и закона токов Кирхгофа (первый закон) для получения алгебраических уравнений, которые мы можем решить для напряжений и токов. Хотя этот подход будет работать всегда (для этой и большинства других типов схем), он может быть довольно громоздким. Мы могли бы смириться с этим как с ценой возможности анализа этих более сложных схем, но иногда мы можем избежать оплаты этого счета, изменяя или «преобразовывая» фрагменты схемы, чтобы превратить ее в нечто, что мы можем уменьшить, используя только правила последовательного/параллельного объединения.

Для простоты мы будем рассматривать только цепи постоянного тока с резисторами, но эти принципы применимы к любой линейной системе переменного или постоянного тока. Кроме того, чтобы сфокусировать обсуждение на преобразованиях, мы найдем только общий ток, поставляемый источником напряжения, что означает, что мы стремимся свести всю сеть резисторов в единое эквивалентное сопротивление.

Давайте рассмотрим эти две схемы немного подробнее (рисунок 3). Мы видим, что единственная разница между ними заключается в том, что находится внутри пунктирных окружностей. В каждом случае цепь в окружности имеет три контакта, которые пересекают окружность для взаимодействия с остальной частью схемы. В левой цепи (рисунок 3(a)) резисторы подключены к контактам в конфигурации «треугольник» (в англоязычной литературе, конфигурация «delta», «дельта», названная в честь заглавной греческой буквы Δ). А в правой цепи резисторы подключены в конфигурации «звезда» (в англоязычной литературе, конфигурация «wye», «уай», названная в честь заглавной английской буквы Y, хотя в схеме она перевернута).

Теперь представьте, что резисторы внутри пунктирной окружности в левой цепи помещены в черный ящик, этот ящик удален из схемы и заменен другим черным ящиком, который заставляет схему вести себя точно так же. Далее представьте, что, когда вы открываете, этот новый ящик он содержит три резистора, расположенных как в правой цепи. Кто бы ни придумал второй черный ящик, он очень тщательно выбрал значения резисторов так, чтобы эти два блока были неразличимы для остальной части схемы: мы знаем, как анализировать правую схему, и теперь мы знаем, что когда мы это делаем, результаты можно применить к левой схеме, потому что они эквивалентны. Вот зачем выполнять преобразования «треугольник→звезда» и «звезда→треугольник».

Основные соотношения

Чтобы определить уравнения, связывающие резисторы в цепи, соединенной треугольником, с резисторами в цепи, соединенной звездой, нам ничего не нужно, кроме наших надежных формул для последовательных/параллельных соединений (и немного алгебры). Идея заключается в выравнивании эквивалентных сопротивлений между соответствующими парами контактов при отключенном оставшемся контакте (рисунок 4)

Выполнив это для эквивалентного сопротивления между контактами B-C, мы получим:

\[R_B + R_C = \frac{R_{BC} \left( R_{AB} + R_{AC} \right) }{R_{AB} + R_{BC} + R_{AC}}\]

Если мы повторим этот процесс для каждой другой пары контактов по очереди, мы получим еще два аналогичных уравнения, и любое из них даст нам необходимую нам информацию (при условии, что мы распознаем задействованную симметрию).

Частный случай: симметричные схемы

Если сопротивления в каждом плече цепи, соединенной треугольником или звездой, равны, такая цепь считается «симметричной». Это означает, что

\[R_∆ = R_{AB} = R_{BC} = R_{AC}\]

\[R_Y = R_A = R_B = R_C\]

Комбинация этого условия с соотношением из предыдущего раздела сразу приводит к уравнению преобразования для случая симметрии.

\[2R_Y = \frac{R_∆(2R_∆)}{3R_∆}\]

\[R_Y = \frac{R_∆}{3}\]

\[R_∆ = 3R_Y\]

Это гораздо более значительный результат, чем может показаться на первый взгляд, и причина довольно проста – когда инженеры проектируют схемы с соединениями треугольник или звезда, они часто стараются сделать эти схемы симметричными. Хотя, конечно, это не всегда возможно, и поэтому мы должны иметь возможность разобраться с общим случаем, когда схема не симметрична.

Общий случай преобразования треугольник→звезда

Для преобразования треугольник/звезда нам дана известная схема, соединенная треугольником, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной звездой, – поэтому мы пытаемся найти {R_A, R_B, R_C} для заданных {R_AB, R_BC, R_AC}.

Мы начнем с того, что запишем наши основные соотношения из первоначального вида в несколько более компактной форме, определив новую величину, R_ΔS, которая равна сумме сопротивлений всех резисторов в цепи, соединенной треугольником.

\[R_{ΔS}=R_{AB}+R_{BC}+R_{AC}\]

Затем мы делаем перестановку нашего соотношения для получения вида линейного алгебраического уравнения с неизвестными {R_A, R_B, R_C}.

\[(0)R_A+(R_{ΔS})R_B+(R_{ΔS})R_C=R_{AB}R_{BC}+R_{BC}R_{AC}\]

Поскольку у нас есть три неизвестных, нам нужно еще два уравнения. Они получаются из эквивалентных сопротивлений, видимых при рассмотрении двух других пар контактов. Выполнив это (или используя симметрию) мы получаем

\[(R_{ΔS})R_A+(0)R_B+(R_{ΔS})R_C=R_{AB}R_{AC}+R_{BC}R_{AC}\]

\[(R_{ΔS})R_A+(R_{ΔS})R_B+(0)R_C=R_{AB}R_{AC}+R_{AB}R_{BC}\]

Сложив эти два уравнения вместе и вычтя наше первое уравнение, мы получим

\[2(R_{ΔS})R_A=2R_{AB}R_{AC}\]

\[R_A= {R_{AB}R_{AC} \over R_{ΔS}}\]

Мы можем решить систему уравнению для двух других неизвестных сопротивлений (или использовать симметрию), чтобы получить

\[R_B= {R_{AB}R_{BC} \over R_{ΔS}}\]

\[R_C= {R_{AC}R_{BC} \over R_{ΔS}}\]

Эти отношения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное к каждому узлу в эквивалентной цепи, соединенной звездой, равно произведению сопротивлений, подключенных к соответствующему узлу в цепи, соединенной треугольником, деленному на сумму сопротивлений всех резисторов в треугольнике. Обычно это выражается формулой, такой как

\[R_N= {R_{N1}R_{N2} \over R_{ΔS}}\]

где

• R_N – резистор, подключенный к контакту N в схеме «звезда»;
• R_N1 и R_N2 – резисторы, подключенные к контакту N в схеме «треугольник»

Общий случай преобразования звезда→треугольник

Для преобразования звезда→треугольник нам дана известная схема, соединенная звездой, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной треугольником. Следовательно, мы пытаемся найти {R_AB, R_BC, R_AC} для заданных {R_A, R_B, R_C}.

Это не так просто, как в случае преобразования треугольник→звезда потому, что неизвестные сопротивления перемножаются вместе, делая результирующие уравнения нелинейными. К счастью, мы можем обойти это неудобство, рассмотрев отношения сопротивлений резисторов в каждой цепи. Например, взяв отношение R_A к R_B, мы получаем

\[{R_A \over R_B} = { R_{AB}R_{AC} \over R_{AB}R_{BC} } = {R_{AC} \over R_{BC} }\]

Другими словами, отношение сопротивлений резисторов, подключенных к любым двум контактам в схеме звезда, равно отношению сопротивлений резисторов, соединяющих те же самые два контакта с третьим контактом в схеме треугольник. Следовательно, два других соотношения будут следующими

\[{R_B \over R_C} = {R_{AB} \over R_{AC} }\]

\[{R_A \over R_C} = {R_{AB} \over R_{BC} }\]

Вооружившись этим, мы могли бы вернуться к нашим основным соотношениям и продолжить работу с ними, но в качестве отправной точки проще использовать одно из отношений из общего случая преобразования треугольник→звезда.

\[R_A= {R_{AB}R_{AC} \over R_{AB} + R_{BC}+R_{AC} }\]

\[R_{AB}R_{AC} = R_A (R_{AB} + R_{BC}+R_{AC})\]

\[R_{AB} = R_A \left( {R_{AB} + R_{BC}+R_{AC} \over R_{AC} } \right)\]

\[R_{AB} = R_A \left( {R_{AB} \over R_{AC}} + {R_{BC} \over R_{AC} } + 1 \right)\]

\[R_{AB} = R_A \left( {R_{B} \over R_{C}} + {R_{B} \over R_{A} } + 1 \right)\]

\[R_{AB} = R_A + R_B + {R_AR_B \over R_C } \]

Два других выражения получаются аналогично (или согласно симметрии):

\[R_{BC} = R_B + R_C + {R_B R_C \over R_A } \]

\[R_{AC} = R_A + R_C + {R_A R_C \over R_B } \]

Эти выражения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное между каждой парой узлов в эквивалентной схеме, соединенной треугольником, равно сумме сопротивлений двух резисторов, подключенных к соответствующим узлам в схеме, соединенной звездой, плюс произведение сопротивлений этих двух резисторов, деленное на сопротивление третьего резистора.

Общий способ выразить это состоит в том, чтобы поместить правую часть под общим знаменателем, а затем отметить, что числитель в каждом выражении является суммой произведений каждой пары сопротивлений в цепи, соединенной звездой, а знаменатель – это сопротивление, подключенное к третьему контакту.

\[R_{AB}={R_P \over R_C}\]

\[R_P = R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C\]

Пример

Давайте поработаем с задачей, показанной на рисунке 5. Прежде чем мы начнем, давайте определим ожидаемый ответ, чтобы у нас была хорошая проверка того, является ли наш окончательный ответ правильным. Для этого рассмотрим роль мостового резистора 150 Ом. Этот резистор служит для уменьшения общего сопротивления, обеспечивая путь между левой и правой сторонами цепи. Следовательно, самое высокое эффективное сопротивление будет иметь место, если этот резистор будет удален полностью, и в этом случае полное сопротивление будет равно параллельной комбинации левой и правой сторон, что приведет к

\[R_{экв.max}=(100 +220)||(470+330)=228,6 \; Ом\]

С другой стороны, наименьшее общее сопротивление было бы получено путем уменьшения мостового резистора до прямого короткого замыкания, и в этом случае общее сопротивление было бы равно параллельной комбинации двух верхних резисторов, включенной последовательно с параллельной комбинацией двух нижних резисторов, что приведет к

\[R_{экв.min}=(100||470)+(220||330)=214,5 \; Ом\]

Теперь мы ЗНАЕМ, что наш ответ ДОЛЖЕН быть между этими двумя предельными значениями. Во многих случаях простой анализ границ, такой как этот, приводит к ответу, который «достаточно хорошо» подходит для данной цели, но давайте предположим, что это не так. Используя приведенные выше уравнения преобразования треугольник→звезда, мы сначала определяем сумму сопротивлений резисторов треугольника.

\[R_{ΔS}=100+150+470=720 \; Ом\]

А затем находим значение R₁, перемножив сопротивления двух резисторов, которые подключены к верхнему контакту, и разделив это произведение на сумму всех трех сопротивлений.

\[R_1={100⋅470 \over 720}=65,28 \; Ом\]

Повторим это же для R₂.

\[R_2={100⋅150 \over 720}=20,83 \; Ом\]

Мы могли бы повторить это еще раз для R₃, но давайте, вместо этого, определим R₃, используя свойства отношений.

\[{R_3 \over R_1}={150 \over 100}⇒R_3=1,5R_1=97,92 \; Ом\]

Теперь, когда у нас есть все сопротивления для эквивалентной схемы звезда, мы можем очень легко определить общее сопротивление.

\[R_{экв.}=R_1+[(R_2+220)||(R_3+330)]=219,4 \; Ом\]

Поскольку это значение находится между нашими минимальной и максимальной границами, мы полностью уверены, что это правильный ответ, или, даже если мы допустили ошибку, наш ответ довольно близок к правильному. Поэтому суммарный ток равен

\[I={12\; В \over 219,4 \; Ом}=54,7 \; мА\]

Заключение

Теперь мы увидели, что преобразования треугольник/звезда полезны, и, что более важно, увидели, как их можно легко выполнить, используя не более чем концепцию эквивалентных сопротивлений с использованием последовательных/параллельных комбинаций резисторов. Это может хорошо вам помочь, поскольку дает вам возможность вывести эти формулы на лету, если когда-нибудь возникнет в них необходимость, и у вас не будет подходящего справочного материала. Но что еще более важно, это должно служить для более прочного закрепления фундаментальных понятий в наборе инструментов, который хранится у вас в голове, позволяя вам использовать в своей работе еще более эффективные навыки анализа цепей.

В конце мы должны принять к сведению распространенное заблуждение, заключающееся в том, что преобразования треугольник↔звезда являются ЕДИНСТВЕННЫМ способом анализа цепей, которые нельзя уменьшить другими способами. В действительности, хотя эти преобразования могут сделать нашу жизнь проще, они не обязательны, поскольку ЛЮБОЙ контур, который можно проанализировать с их помощью, также можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, либо напрямую, либо с помощью одного из более формализованных методов их применения, включая метод контурных токов или метод узловых напряжений, а также с методиками, такими как эквивалентная схема Тевенина.

Теги